Электроника:Переменный ток/Комплексные числа/Несколько примеров с цепями переменного тока

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Несколько примеров с цепями переменного тока

Давайте соединим последовательно три источника переменного напряжения и используем комплексные числа для определения аддитивных (складываемых) напряжений.

Все правила и законы, которые мы изучали для цепей постоянного тока, применимы и к цепям переменного тока (закон Ома, правила Кирхгофа, методы сетевого анализа). Разве что расчёт мощности (закон Джоуля) производится по-другому.

Единственное ограничение состоит в том, что все переменные должны быть выражены в виде комплексных чисел с учётом фазы и величины, а все напряжения и токи должны иметь одинаковую частоту (для того, чтобы их фазовые отношения оставались постоянными).

Рис. 1. ПНК (правило напряжений Кирхгофа) позволяет складывать напряжения и для переменного тока.

Метки полярности для всех трёх источников напряжения ориентированы таким образом, чтобы их заявленные напряжения складывались в общее напряжение на нагрузочном резисторе.

Обратите внимание, что, хотя для напряжения каждого источника указаны и величина и фазовый угол, при этом не указано значение частоты. В данном случае предполагается, что все частоты равны, в таком случае мы вправе применять методы расчёта для постоянного тока к цепям переменного тока (все значения даны в комплексном виде, везде одна и та же частота).

Наше адаптированное уравнение для нахождения полного напряжения переменного тока выглядит так:

Рис. 2. Складываем последовательные напряжения.

Графически векторы складываются, как показано на рисунке:

Рис. 3. Графическое сложение векторных напряжений.

Сумма этих векторов – результирующий вектор, начинающийся в начальной точке для вектора 22 В (исходит из точки в верхнем левом углу диаграммы) и заканчивающийся в конечной точке для вектора 15 В (острие стрелки чуть ниже середины правого края схемы):

Рис. 4. Результирующий вектор, эквивалентный векторной сумме трёх исходных напряжений.

Чтобы определить величину и угол результирующего вектора, не прибегая к рисованию, можно преобразовать каждое комплексное число из полярной формы записи в алгебраическую и затем сложить.

Мы именно складываем (а не вычитаем) эти значения вместе, потому что промаркировали полярность для трёх источников напряжения соответствующим аддитивным образом:

Рис. 5. Складываем всё вместе, потому что отметки полярности для трёх источников напряжения аддитивно ориентированы.

Итоговое напряжение в полярной форме: «36,8052 вольт ∠ -20,5018°». Это означает, что общее напряжение, дающее этими тремя источниками равно 36,8052 В, при этом суммарная волна отстаёт от волны 15-вольтового источника (его определили как опорный и присвоили ему фазу 0°) на 20,5018°.

Если подключить вольтметр к участку, содержащему все три источника, то он покажет полярную величину напряжения (36.8052 вольт), но не векторный угол. Можно воспользоваться осциллографом, который покажет две волны (и фазовый сдвиг между ними).

То же будет справедливо и для амперметров переменного тока: они показывают полярную величину тока, а не фазовый угол.

Это чрезвычайно важно для соотнесения расчётных значений напряжения и тока с реальными цепями.

Хотя алгебраические обозначения удобны для сложения и вычитания (а эти действия были при расчётах последним шагом в нашем примере), для практических измерений они не совсем применимы.

Алгебраическую запись необходимо преобразовать в полярную (в частности, полярную величину), и тогда их можно будет увязать с фактическими результатами измерений схемы.

Для проверки наших результатов воспользуемся нашей любимой программой SPICE. В тестовой схеме номинал резистора примем как равный 10 кОм. Это произвольное значение нужно для того, чтобы SPICE не объявлял об ошибке из-за разомкнутой цепи и не прерывал анализ.

Кроме того, произвольно выберем частоту для моделирования (возьмём 60 Гц), поскольку резисторы одинаково реагируют на любую частоту переменного напряжения и переменного тока. Кстати, в отличие от резисторов, некоторые другие компоненты цепи (в частности, конденсаторы и катушки индуктивности), по-разному реагируют на разные частоты, но это уже отдельная тема!

Рис. 6. Укажем на принципиальной схеме сопротивление нагрузки и узловые точки для программы SPICE.

v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 2 1 ac 12 35 sin
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac link 1 60 60               /* Я использую частоту 60 Гц */
.print ac v(3,0) vp(3,0)  /* как значение по умолчанию */
.end

freq                  v(3)                  vp(3)
6.000E+01      3.681E+01      -2.050E+01

Само собой, получаем общее переменное напряжение «36,81 вольт ∠ -20,5°» (15-вольтовый источник в программе указан как «эталонный» сигнал с фазовым углом 0°).

На самый первый взгляд – ответ нелогичен. Как вообще можно получить общее напряжение чуть более 36 вольт при последовательном подключении источников питания на 15, 12 и 22 вольт? С постоянным током это было бы абсурдно, поскольку значения напряжения будут напрямую складываться или вычитаться, в зависимости от полярности.

Но с переменным током наша «полярность» (фазовый сдвиг) может варьироваться от абсолютной взаимной поддержки до тотального противодействия, и отсюда получаются подобные парадоксальные результаты суммирования.

Что будет, если возьмём ту же схему, но только поменяем направление полярности для одного из источников напряжения? Тогда его вклад в общее напряжение будет противоположным:

Рис. 7. Обратим полярность для E₂ (равный 12 В).

Заметьте, что фазовый угол аккумулятора на 12 В по-прежнему составляет 35°, даже с учётом того, что мы его «перевернули». Не забывайте, что фазовый угол любого падения напряжения указывается в соответствии с тем, как мы промаркировали полярность. Несмотря на то, что угол по-прежнему записывается как 35 °, вектор будет направлен на 180° в противоположном направлении относительно того, что было раньше:

Рис. 8. Направление E₂ меняется на противоположное. Сравните с рисунком 3.

Результирующий вектор (сумма трёх векторов) начинается в верхней левой точке (начало 22-вольтного вектора) и заканчивается на конце стрелки 15-вольтового вектора в нижнем правом углу диаграммы:

Рис. 9. Результат - векторная сумма источников напряжения. Сравните с рисунком 4.

Изменение направления подключения 12-вольтового источника питания может быть осуществлено двумя разными способами в полярной форме:

1. добавлением 180° к его векторному углу (в этом случае будет «12 вольт ∠ 215°»);
2. изменением знака величины (в этом случае будет «-12 вольт ∠ 35°»).

В любом случае преобразование в алгебраическую форму даёт один и тот же результат:

Рис. 10. Преобразовываем из полярной формы записи в алгебраическую.

Теперь все напряжения в алгебраической форме можно сложить:

Рис. 11. Складываем, чтобы получить итоговое напряжение в алгебраической форме записи.

Переводим в полярную форму записи, в итоге получаем: «30,4964 В ∠ -60,9368°». Ещё разок воспользуемся SPICE чтобы проверить наши расчёты:

ac voltage addition
v1 1 0 ac 15 0 sin 
v2 1 2 ac 12 35 sin            /* Обратите внимание на изменение узлов 2 и 1 */ 
v3 3 2 ac 22 -64 sin           /* Имитируем перестановку соединений */ 
r1 3 0 10k .ac lin 1 60 60 
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end

freq                 v(3)                   vp(3) 
6.000E+01      3.050E+01      -6.094E+01

Итог

• Все электрические законы, правила, методы, которые мы использовали для анализа цепей постоянного тока применимы и к цепям переменного тока, за исключением расчёта мощности (закон Джоуля), при условии, что все значения выражаются и обрабатываются в виде комплексных чисел, а все напряжения и токи имеют одинаковую частоту.
• Изменение направления вектора на противоположное (что эквивалентно изменению полярности источника переменного напряжения по отношению к другим источникам напряжения) можно выразить двумя разными способами: добавлением 180° к векторному углу или изменением знака полярной величины.
• Если производить измерения цепи переменного тока с помощью вольтметра, то показания будут соответствовать полярным величинам расчётных значений. Алгебраическая форма записи комплексных величин в цепи переменного тока не имеет прямого эмпирического эквивалента, хотя она удобна для выполнения сложения и вычитания, например, когда требуется рассчитать напряжение или силу тока в соответствии с правилами Кирхгофа.