Электроника:Переменный ток/Комплексные числа/Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел

Чтобы при работе с комплексными числами всякий раз не рисовать векторы, нам понадобятся какие-то стандартные математические обозначения. Существует две основные формы записи комплексных чисел: полярная и алгебраическая (в англоязычной литературе – прямоугольная).

Полярная форма комплексного числа

Полярная форма – это когда для комплексного числа указывается длина вектора (абсолютное значение, модуль) и угол вектора (обычно обозначается символом угла, который выглядит следующим образом: ∠).

Если привести аналогию с картой, полярное обозначение вектора из Нью-Йорка в Сан-Диего будет примерно таким: «2400 миль на юго-запад». Вот два примера векторов и их полярные обозначения:

Рис. 1. Векторы с полярными обозначениями.

Стандартная ориентация векторных углов в расчётах цепей переменного тока определяет 0° как точно вправо (по горизонтали), 90° – точно вверх (по вертикали), 180° – точно влево и 270° – точно вниз. Обратите внимание, что для векторов, направленных «куда-то вниз» под разными углами, в полярной форме их векторные углы можно выражать как в виде положительных чисел больше 180° так и в виде отрицательных меньше 180°.

Например, для вектора под углом ∠ 270° (точно вниз) можно сказать, что он имеет угол -90°. А, к примеру, один из векторов, изображённых на рисунке 1, направленный вправо-вниз (7,81 ∠ 230,19°) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81°.

Рис. 2. Векторный компас.

Алгебраическая форма комплексного числа

С другой стороны, алгебраическая форма – это когда комплексное число обозначается соответствующими горизонтальными и вертикальными компонентами. По сути, угловой вектор считается гипотенузой прямоугольного треугольника, описываемого длинами обоих катетов.

Вместо того, чтобы описывать длину и направление вектора посредством обозначения его величины и угла, вектор описывается в терминах «насколько влево/вправо» и «насколько вверх/вниз».

Эти двумерные фигуры (имеющие горизонтальное и вертикальное измерение) обозначаются двумя числами. Чтобы различать горизонтальные и вертикальные измерения друг от друга, перед вертикальными ставится префикс в нижнем регистре «i» (так делают математики) или «j» (так делают электронщики).

Эти строчные буквы не обозначают какую-либо физическую переменную (в частности, это не мгновенный ток, также обозначаемый строчной «i»), а скорее являются математическими операторами, используемыми для того, чтобы отличить вертикальную составляющую вектора от горизонтальной. Для целостного комплексного числа горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы:

Рис. 3. Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».

В алгебраической форме длина и направление вектора обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального смещения, первое число – горизонтальная («вещественная») составляющая, а второе число (с префиксом «j») – вертикальная («мнимая») составляющая.

Горизонтальная составляющая называется вещественной составляющей, поскольку это измерение совместимо с обычными скалярными («действительными», «вещественными») числами. Вертикальная составляющая также известна как мнимая составляющая, поскольку это измерение имеет направление, совершенно чуждое оси реальных чисел.

Рис. 4. Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.

«Вещественная» ось графика соответствует старой доброй числовой прямой, с которой мы хорошо знакомы: на ней и находятся обычные положительные и отрицательные числа. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «вещественной».

Поскольку векторы являются двухмерными объектами, чтобы их как-то выражать, нам понадобится двухмерная «карта», т.е. нужны две числовые прямые, перпендикулярные друг другу:

Рис. 5. Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.

Преобразование полярной формы записи в алгебраическую

Для любого комплексного числа допустим любой метод записи. Главная причина, по которой у нас не одна форма записи, а две – простота ручных расчётов. Дело в том, что алгебраическая форма удобна для сложения и вычитания комплексных чисел, а полярная – для умножения и деления.

Чтобы переходить из одной формы записи к другой – хватит элементарных знаний по тригонометрии. Чтобы преобразовать полярную в алгебраическую, найдите вещественную составляющую, умножив полярную величину на косинус угла, и мнимую составляющую, умножив полярную величину на синус угла.

Это проще понять, если изобразить алгебраические составляющие в виде катетов прямоугольного треугольника. Гипотенуза – это сам вектор (полярная форма записи – это не что иное как длина самого вектора и векторный угол по отношению к горизонтали). Горизонтальная и вертикальная стороны треугольника (его катеты) – это, соответственно, «вещественная» и «мнимая» компоненты:

Рис. 6. Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.

Рис. 7. Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.

Преобразование из алгебраической формы записи в полярную

Чтобы преобразовать алгебраическую форму в полярную, найдите полярную величину с помощью теоремы Пифагора (полярная величина – это гипотенуза прямоугольного треугольника, а вещественная и мнимая составляющие – это, соответственно, смежная и противоположная стороны, т.е. катеты прямоугольного треугольника). А угол будет равен арктангенсу мнимой составляющей, делённому на вещественную составляющую:

Рис. 8. Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.

Итог

• Полярная запись выражает комплексное число с точки зрения длины его вектора и углового направления от начальной точки. Пример из жизни: преодолеть 45 миль ∠ 203 ° (т.е. проехать это расстояние в направлении на запад-юго-запад).
• Алгебраическая запись выражает комплексное число с точки зрения его горизонтального и вертикального смещения. Пример (эквивалентный примеру из предыдущего пункта): проехать сначала 41 милю на запад, затем повернуть и проехать ещё 18 миль на юг.
• В алгебраической записи первая величина – это «вещественная» составляющая (горизонтальное смещение вектора), а вторая величина - «мнимая» составляющая (вертикальное смещение вектора). Мнимой составляющей предшествует строчная буква «j», которую иногда называют j-оператором.
• Как полярную, так и алгебраическую формы записи комплексного числа можно графически представить в виде прямоугольного треугольника. Гипотенуза представляет сам вектор (если ещё точнее, интерпретирует полярную форму записи: длина гипотенузы = величина вектора; угол относительно горизонтальной стороны = векторный угол). Что касается катетов, то горизонтальная сторона треугольника – это алгебраическая «вещественная» составляющая, а вертикальная сторона – это алгебраическая «мнимая» составляющая.